به هر حال از حل معادلات گشتاور­های چهار قطبی و دو قطبی مغناطیسی اتم دوترون با در نظر گرفتن تصحیحات نسبیتی می­توان به جواب هایی از حدود ۲/۰ % برای چهارقطبی و ۷/۰% برای دوقطبی نزدیک­تر به مقادیر تجربی رسید. تصحیحات محاسبه شده برای بسط حول توان­های تخمین­های غیر قابل اطمینانی برای تصحیحات نسبیتی را منجر می­ شود.[۱۳] برای نتایج بهتر از این روش باید تاثیرات درجات آزادی غیر هسته­ای را در نظر گرفت که باعث جریان بارهای دو ذره­ای می شوند. به هر حال در پایان این پایان نامه نیز با مقایسه­ مقادیر محاسبه می بینیم که نتایج از طریق مدل کوارکی ساده چقدر دقیق تر خواهد بود.
۱-۳ مدل کوارکی
آگاهی فیزیک­دانان از وجود ساختار در درون هستک­ها دریچه­ی جدیدی به روی شناخت از دنیای هسته­ای به روی آن­ها گشود. کوارک­ها که با نیرویی با بردی کوتاه با یکدیگر برهم­کنش انجام می­ دهند نقش اساسی در شکل گیری هستک­ها ایفا می­ کنند. از ترکیب کوارک­ها به طور کلی می­توان دو نوع از ذره با نام­های باریون­ها (متشکل از ۳ کوارک) که فرمیون هستند و مزون­ها (متشکل از ۲ کوارک) که بوزون هستند را ساخت. شش نوع متفاوت از کوارک­ها وجود دارند که ترکیبات آن­ها باریون­ها و مزون­های متفاوت را به وجود می­آورند. در این میان پروتون و نوترون پایدارترین این ذرات و از گروه باریون ها هستند. همین دو ذره هستند که هسته‌ی اتم مورد نظر ما یعنی دوترون را به وجود می­آورند.
مدل کوارکی ساده مدلی است که بدون در نظر گرفتن هرگونه دینامیک (برهم­کنش) بین کوارکی به بررسی خصوصیات ذره­ی ساخته شده از آن­ها می ­پردازد.
تاکنون با استفاده ازمدل ساده­ی کوارکی تلاشی توسط آقای یزدان کیش انجام شده که هنوز به چاپ نرسیده است. بدین ترتیب که با فرض این که دوترون از نوترون و پروتون تشکیل شده و هر کدام از آن­ها از سه کوارک تشکیل شده اند، تابع موج این دو هستک را تشکیل داده و در هم ضرب می­کنیم، که حاصل تابع موج دوترون می­ شود:
سپس با بهره گرفتن از قرار دادن جمع گشتاور مغناطیسی شش کوارک تشکیل دهنده‌ی نوترون و پروتون که شامل ۳ کوارک بالا و سه کوارک پایین است در بین تابع موج و محاسبه‌ی مقدار متوسط به این نتیجه می­رسیم:
با توجه به عملگرهای گشتاور مغناطیسی که متناسب با اسپین است و قابل محاسبه برای کوارک ها وقرار دادن آن در معادله بالا می­توان مقدار متوسط آن را محاسبه کرد که نتیجه بسیار خوبی است:
مقدار خطای نسبی این روش برابر است با:
فصل دوم
تقارن در مدل کوارکی ساده
۲-۱ تقارن
بهترین نمونه­های تقارن در فیزیک، کریستال­ها هستند. با این حال در اینجا برای ما تقارن دینامیکی در حرکت، مهم تر از تقارن ایستا در شکل جسم است. یونانی ها اعتقاد داشتند که تقارن در طبیعت، باید مستقیما در حرکت اجسام نمود بیابد. مثلا ستاره­ها در مدار­های دایروی می­چرخند، چون این شکل متقارن­ترین مدار موجود در طبیعت است. البته سیارات در مدارهای دایروی نمی­چرخند و این یک اشتباه واضح در نظریه­ آن­ها بود. نیوتون متوجه شد که تقارن­های بنیادین در طبیعت نه در حرکت اجسام مجزا، بلکه در چندین حالت از حرکت­های مختلف آن­ها قابل یافت است. تقارن­ها در ظاهر معادلات حرکت باید حضور داشته باشند و نه در برخی جواب­های خاص این معادلات. به عنوان مثال قانون جهانی گرانش نیوتون دارای تقارن کروی است؛ نیرو در تمام جهات یکسان است، با این حال حرکت سیارات در مدارهای بیضوی است. بنابر این تقارن پایه­ای موجود تنها به طور غیر مستقیم به ما نمایانده شده است. در سال ۱۹۱۷ مفهوم دینامیکی تقارن به طور کامل آشکار شد و در همان سال امی نودر^[۴۲] نظریه مشهور خود را که تقارن ها را به قوانین پایستگی مربوط می کرد را منتشر کرده است.
« هر گونه تقارنی در طبیعت به یک قانون پایستگی منجر می شود؛ و بلعکس، هر قانون پایستگی پرده از تقارن نهفته بر می دارد. »
به عنوان مثال قوانین فیزیک تحت تحول زمانی^[۴۳] ناوردا می مانند. آن­ها امروزه همان طور کار می­ کنند که دیروز می­کردند. نظریه نودر این ناوردایی را به پایستگی انرژی مربوط می­ کند. اگر سیستم تحت جا به جایی در فضا ناوردا بماند آن گاه تکانه خطی پایسته است و اگر تحت دوران حول یک نقطه متقارن بود، آن گاه تکانه زاویه­ای پایسته می­ماند. و به طور مشابه، ناوردایی الکترو دینامیک تحت تبدیلات پیمانه­ای باعث پایستگی بار می­ شود (که به آن بر خلاف تقارن­های فضایی، تقارن داخلی می گوییم). تقارن در واقع عملی است که اگر آن را روی سیستم انجام دهیم، سیستم ناوردا بماند. مثلا در مورد توابع زوج و فرد بودن می تواند نوعی تقارن به حساب بیاید.[۱۴]
۲-۱-۱ اسپین
مهم­ترین سیستم­های اسپینی، سیستم­های با اسپین هستند. پروتون­ها، نوترون­ها، الکترون­ها، تمام کوارک­ها و لپتون­ها اسپین دارند. به علاوه وقتی کار با اسپین را بلد باشیم، کار با بقیه­ی سیستم­ها برای ما بسیار آسان­تر خواهد بود. ذره­ای با اسپین می ­تواند مقادیر را برای مولفه محور خود داشته باشد:
گاهی گفته می شود که یک ذره با اسپین می تواند در یکی از این دو حالت وجود داشته باشد، در حالی که این طور نیست. کلی ترین حالت اسپینی که این ذره می تواند در آن قرار گیرد به شکل زیر است:
که در آن و اعداد مختلط هستند. این درست است که با اندازه گیری روی می­توان مقادیر را به دست آورد، ولی بدین ترتیب نمی­ توان ثابت کرد که قبل از اندازه گیری در کدام حالت قرار داشته است. در حالت کلی احتمال اندازه گیری و احتمال اندازه گیری است. از آنجایی که این دو حالت تنها حالت های قابل دسترس برای ذره هستند، بنابراین:
غیر از فرض تعامد، قید دیگری در اینجا فرض نکرده ایم.
حال فرض کنید که می­خواهیم مقدار عملگر های و را برای حالت محاسبه کنیم. تقارن به ما می­گوید تنها مقادیری را که می­توان به دست آورد همان است. چون هیچ ترجیحی بین راستاهای محور­های مختصات وجود ندارد و ما می­توانستیم از ابتدا هرکدام از جهت­های دیگر را در نظر بگیریم. اما محاسبه­ی احتمال به این سادگی نیست. برای هر مولفه ی اسپین یک ماتریس اختصاص می دهیم:
مقادیر ویژه ی ، خواهد بود و ویژه توابع متناظر با آن ها عبارتند از:
یک اسپینور دلخواه را می­توان بر حسب این ویژه توابع بسط داد:
که در آن:
احتمال این که بعد از اندازه گیری، مقدار برابر با بشود است و احتمال این که بدست آوریم است. به طور مشابه .
فرایند کلی که این مثال یکی از انواع آن بود به شکل زیر است:
ماتریس که نمایش گر مشاهده پذیر مورد پرسش است.
مقادیر مجاز برای را ویژه مقادیر می­گویند.
حالت سیستم را به صورت ترکیب خطی از ویژه توابع می­نویسیم. سپس مجذور هرکدام از ضرایب را محاسبه می­کنیم. احتمال وقوع هرکدام از حالتها برابر با مقدار مجذور ضریب مربوطه است.
برای کار­های ریاضی ضریب را از ماتریس­های اسپین حذف می­کنیم. به باقی مانده ماتریس­ها، ماتریس­های پائولی^[۴۴] می­گویند که دارای خواص ریاضی ویژه­ای هستند:
به این ترتیب می توان گفت:
به صورتی می­توان گفت که اسپینور­ها حالتی بین اسکالر (یک مولفه) و بردار (سه مولفه) دارند. اما اسپینور­ها تحت دوران رفتار دیگری از خود نشان می­ دهند به طوری که برای این ذرات در صورت داشتن اسپین برابر تحت دوران ۳۶۰ درجه با علامت مخالف ظاهر می­شوند که به همین دلیل در گروه شبه بردار­ها قرار می گیرند.
۲-۱-۲ طعم
اما تقارن در سایر قسمت­ های فیزیک نیز می ­تواند وجود داشته باشد. از دیگر خاصیت­های بنیادین ذرات که می­توان در مورد تقارن آن صحبت کرد طعم است که بیانگر آیزو اسپین می­باشد.
برای صحبت در این مورد از سال ۱۹۳۲ شروع می­کنیم، جایی که خاصیت شگفت انگیز دیگری از نوترون، غیر از بی بار بودن آن ذهن هایزنبرگ^[۴۵] را به خود مشغول کرده بود و آن این بود که نوترون بسیار شبیه پروتون است و از لحاظ جرمی نیز بسیار به هم نزدیکند. هایزنبرگ نظر خود را چنین اعلام کرد که نوترون و پروتون می توانند حالت­های مختلف از یک ذره به نام هستک باشند. و از آن جا که انرژی ذخیره شده در میدان الکترو مغناطیسی طبق نظریه­ انیشتین می ­تواند عامل افزایش لختی باشد اختلاف جزیی بین دو ذره ناشی از باردار بودن پروتون است. اما مشکل این نظریه این است که طبق آن باید پروتون از نوترون سنگین­تر باشد که این طور نیست. اگر بتوان به طریقی از بار موجود صرف نظر کرد طبق نظریه­ هایزنبرگ این دو ذره باید غیر قابل تمیز باشند و یا به عبارت دیگر نیروی قوی که توسط پروتون احساس می­ شود باید با نوترون یکی باشد.
برای این مقصود هستک را به صورت یک ماتریس ستونی دو مولفه­ای در نظر می­گیریم:
که در آن
مسلما این چیزی جز یک نمایش جدید نیست اما با بررسی دقیق­تری می­توان به تشابهات آن با بحث اسپینورها پی برد و به همین طریق می­توان آیزو اسپین را معرفی نمود. با این که یک بردار در فضای معمولی در راستای محور­های مختصات نیست اما می­توان در فضای مجازی آیزو اسپینی آن را با مولفه­های ، و مشخص کرد. یک هستک دارای آیزو­اسپین و مولفه­ی سوم دارای ویژه مقدار به معنای پروتون و به معنای نوترون است.
بنا­بر­این پروتون دارای آیزو اسپین بالا و نوترون دارای آیزو اسپین پایین است. اما فیزیک از اینجا وارد ماجرا می­ شود که طبق گفته­ی هایزنبرگ باید نیروی قوی تحت دوران در فضای آیزو اسپینی ناوردا باشد. این یک نوع تقارن داخلی است چون که نه به فضا و نه به زمان معمولی ارتباطی ندارد و فقط به ارتباط دو ذره مربوط است. یک دوران ۱۸۰ درجه حول محور ۱ نوترون را به پروتون و پروتون را به نوترون تبدیل می کند. طبق نظریه ی نودر اگر نیروی قوی تحت دوران در فضای آیزو اسپینی ناوردا بماند، آیزو اسپین در تمام بر همکنش­های قوی پایسته می­ماند، درست مانند پایستگی تکانه­ی زاویه­ای تحت دوران در فضای معمولی.
به زبان نظریه­ گروه ها، هایزنبرگ اعلام کرد که بر همکنش­های قوی تحت یک گروه داخلی ناوردا هستند و این که هستک­ها به یک نمایش دو بعدی آیزو اسپین تعلق دارند.
برای کوارک­ها نیز آیزواسپین وجود دارد که همان طعم آن­ها است. برای محاسبه‌ی آیزواسپین کل یک هسته‌ی متشکل از چند کوارک به طریقی که تا اندازه‌ای شبیه محاسبه‌ی اسپین کل است عمل می‌کنیم.
آیزواسپین کل اتم دوترون برابر با صفر است، بنا براین ما در محاسباتمان حالت را جستجو می‌کنیم که به آن حالت یگانه می‌گویند. به عنوان مثال اگر هسته­ی دوترون را فقط متشکل از نوترون و پروتون بگیریم با توجه به این که آیزو اسپین نوترون و آیزو اسپین پروتون است می‌توان تابع موج نهایی هسته‌ی دوترون را به شکل های زیر ساخت، حالت سه گانه:
و حالت یگانه:
کاملا واضح است که حالت سه گانه برای دوترون قابل دسترس نیست، چرا که اگر قرار بود که این تابع موج متقارن باشد باید ذرات دوترونی متشکل از دو پروتون و یا دو نوترون نیز در طبیعت وجود می‌داشتند که این طور نیست. پس تنها حالت قابل دسترس حالت کاملا پادمتقارن یگانه است.