شکل(۲-۹)الف تحلیل شیروانی خاکی به روش بیشاپ به همراه نشت دائمی آب
نیروهای موثر وارد بر قطعه n ام با فرض ضخامت واحد برای قطعات در جهت عمود بر صفحه کاغذ در شکل (۲-۹)ب نشان داده شده است. با توجه به اشکال (۲-۹)الف و ب می­توان روابط ضریب اطمینان را به شرح زیر اصلاح نمود.

برای روش بیشاپ معمولی (رابطه(۲-۱۷) ) به صورت زیر اصلاح می­ شود:
(۲-۲۵)
و برای روش بیشاپ اصلاح شده رابطه (۲-۲۴) چنین اصلاح می­ شود:
(۲-۲۶)
شکل(۲-۹)ب نیروهای موثر بر قطعه n ام در روش بیشاپ به همراه نشت دائمی
توجه شود که در روابط (۲-۲۵) و (۲-۲۶) Wn وزن کل قطعه می­باشد.
روش بیشاپ معمولی که از آن به عنوان وسیله­ای برای درک مطلب، استفاده گردید، امروزه بندرت مورد استفاد قرار می­گیرد، چون نتایج بدست آمده از آن خیلی محافظه کارانه است و نسبت به روش بیشاپ اصلاح شده از دقت پایین­تری برخوردار می­باشد.

فصل سوم

روش شناسی
۳-۱- مقدمه
انسان موجودی است که همواره خواهان پیشرفت و ترقی است و علاقه دارد به موقعیتی بهتر از موقعیت کنونی خویش دست یابد، و هم چنین خواهان این است که هر چه سریعتر به آرمان خود دست یابد. در این مسیر، سؤالات بسیاری برای انسان مطرح می‌شود:
موقعیت کنونی من کجاست؟، موقعیت بهتر کجاست؟، موقعیت بدتر چیست؟، (به بیانی معیار خوبی و بدی چیست؟)، چه مسیری ما را به موقعیت بهتر سوق می‌دهد؟، از بین مسیرها کدام مسیر سریع‌تر و با هزینه کمتر (هزینه زمانی یا مالی) ما را به آرمان خویش راهنمایی می‌کند؟، و هزاران سؤال مشابه دیگر که وجود دارد.
بهینه‌سازی^[۶] جوابگوی تمامی این سؤالات است. علم بهینه‌سازی به شما ابزاری می‌دهد تا به موقعیت‌های مختلف ارزش عددی بدهید و سپس با بهره گرفتن از روش‌هایی که بستگی به روش بهینه‌سازی دارد، شما را به پیمودن راهی دعوت می­ کند تا به آرمان خویش بررسید. به بیانی زندگی انسان، بهینه‌سازی است و تلاش‌های روزمره آدمی در جهت بهینه‌سازی زندگی خویش است. بهینه‌سازی را می‌توان به عنوان فرایند یافتن شرایطی که مقدار بهینه یک تابع را می‌دهد تعریف کرد. نکته قابل توجه این است که برای حل مسائل بهینه‌سازی، روش یگانه‌ای وجود ندارد.
حال اجازه دهید با نگاه مهندسی به مسئله نگاه کنیم. به طور مثال کار و وظیفه مهندس عمران عبارت است از: برآورد بارها و نیروهای وارد بر سیستم و تحلیل و آنالیز سیستم در برابر بارهای وارده و در نهایت تحلیل و طراحی سیستم به نحوی که بتواند در برابر بارهای وارده، از خود مقاومت نشان داده و رفتاری قابل قبول داشته باشد. این کار و علم مهندسی عمران است. اما هنر یک مهندس این است که سیستم مورد نظر را با حداقل امکانات و هزینه طراحی کند به طوری که رفتار مناسبی نیز داشته باشد. به بیان دیگر بهینه‌سازی هنر یک مهندس است. اکثر کارهای طراحی مهندسی قابل تعریف و برنامه‌ریزی می‌باشد و بنابراین می‌توان توسط کامپیوتر عمل آنالیز و طراحی را به صورت متناوب و با سرعت انجام داد.
آنالیز پایداری شیروانی ها موردی است که در آن بهینه‌سازی می‌تواند مورد استفاده قرار بگیرد. در آنالیز پایداری شیروانی ها با بهره گرفتن از کمینه کردن مقدار تابع هدف (ضریب اطمینان) صورت می‌پذیرد.
شاید بعضی معتقد باشند که با بررسی تمام حالات ممکن می‌توان به جواب بهینه دست یافت بنابراین نیازی به روش‌های بهینه‌سازی نیست. برای رفع این ابهام، فرض کنید می‌خواهیم مسئله‌ای که دارای سه متغیر می‌باشد و هر کدام از این متغیرها بتواند ۱۰ مقدار متفاوت بپذیرد، را کمینه کنیم. بنابراین در این مثال دارای ۱۰۳ حالت طرح می‌باشیم. با فرض این که مدت زمان محاسبه هر طرح ۱/۰ ثانیه باشد برای بررسی تمام حالات ۱۰۰ ثانیه زمان نیاز است، تا به طرح دلخواه بررسیم. حال فرض کنید مسئله دارای ۱۰ متغیر است و هر متغیر نیز بتواند ۱۰ مقدار متفاوت بپذیرد. پس در این حالت دارای۱۰۱۰ حالت متفاوت خواهیم بود. اگر برای محاسبه و بررسی هر طرح ۵/۰ ثانیه زمان نیاز باشد، ۱۰۹  ۵ ثانیه و یا به بیانی ۱۶۰ سال طول خواهد کشید تا تمامی طرح‌ها بررسی شوند. واضح است برای مسائل طراحی عملی نیاز به یک روش کنترل شده می‌باشد.
تکنیک‌های بهینه‌سازی عددی روش منطقی را برای کنترل طراحی پیشنهاد می‌کند، و تا کنون الگوریتم‌ها و روش‌های بسیاری در این زمینه ارائه شده است که به تعدادی از این روش ها به صورت مختصر در این فصل اشاره می کنیم.
۳-۲- تاریخچه بهینه‌سازی
اولین اقدامات در زمینه روش‌های بهینه‌سازی را می‌توان در روزگار نیوتن^[۷]، لاگرانژ^[۸] و کوشی^[۹] ردیابی کرد. بسط روش‌های بهینه‌سازی حساب دیفرانسیل با کارهای نیوتن و لایبنیز^[۱۰] ممکن گردید. روش‌های حساب تغییرات توسط برنولی^[۱۱]، اولر^[۱۲]، لاگرانژ بنیانگذاری شد.
یک روش بهینه‌سازی برای مسائل مقید که شامل افزودن مضارب مجهول می‌باشد به نام یابنده آن لاگرانژ نامگذاری شد. کوشی برای اولین بار روش تندترین کاهش را در حل مسائل کمینه‌سازی نامقید به کارگرفت. با وجود کارهای بسیار ارزشمند این افراد تا قرن بیستم پیشرفت اندکی داشت. در این قرن کامپیوترهای عددی بسیار سریع به کارگیری روش‌های بهینه‌سازی عددی را ممکن ساخت و تحقیقات بیشتر برای روش‌های جدید را برانگیخت [۱۹].
استفاده از این روش‌ها در طراحی مهندسی در سال ۱۹۶۰ وقتی اشمیت^[۱۳] روش بهینه‌سازی غیر خطی را جهت طراحی سازه استفاده کرد و اصطلاح “ترکیب سازه‌ای “ را برای آن به‌ کار برد مورد پسند عامه قرار گرفت. هرچند کار اشمیت محدود به بهینه‌سازی سازه بود، لیکن مفاهیم ارائه شده در آنجا اصول یک روش جدید در طراحی مهندسی و قابل اجرا برای طیف وسیعی از مسائل را ارائه داد.
۳-۳- کاربردهای بهینه‌سازی در مهندسی
بهینه‌سازی در مهندسی کاربردهای فراوانی دارد و در هر شاخه از مهندسی ردپای بهینه‌سازی مشاهده می‌شود. گوشه‌ای از کاربردهای بهینه‌سازی در مسائل مهندسی عبارتند از:
۱- جستجوی سطح لغزش بحرانی در شیبهای خاکی و سنگی
۲- طراحی بهینه سازه‌های مهندسی عمران از قبیل سازه‌های فضاکار، خرپاها، قاب‌ها، پل‌ها، برج‌ها، سدها و… با کاهش وزن و هزینه.
۳- طراحی هواپیما و سازه‌های فضایی با وزن کم.
۴- یافتن مسیرهای بهینه جهت ایجاد خطوط ترانزیت.
۵- طراحی بهینه مسیر لوله‌های انتقال آب، گاز، سوخت و …
۶- طراحی بهینه شبکه‌های الکتریکی.
۷- طراحی موتور اتومبیل‌ها با مصرف کمتر و راندمان بیشتر.
۸- انتخاب محل برای ایجاد یک صنعت.
۹- طراحی پمپ‌ها، توربین‌ها و تجهیزات انتقال حرارت با بازده بیشتر.
و هزاران مورد دیگر.
۳-۴- دسته‌بندی مسائل مهندسی
مسائل بهینه‌سازی را می‌توان به چند دسته تقسیم کرد، که مهم‌ترین آنها عبارتند از:
۳-۴-۱- دسته‌بندی بر مبنای وجود قیدها
مسائل بهینه‌سازی را بسته به وجود یا عدم وجود قید در آنها می‌توان به مسائل مقید و نامقید دسته‌بندی کرد.
۳-۴-۱-۱- روش های بهینه سازی نامقید^[۱۴]
روش های بهینه سازی نامقید را می توان در یک تقسیم بندی کلی به دو دسته (الف) روش های جستجوی مستقیم^[۱۵] و (ب) روش های نزولی^[۱۶] تقسیم بندی نمود. از روش های جستجوی مستقیم می توان به دو روش:
۱-روش یک متغیره
۲-روش سیمپلکس
اشاره کرد.
از روش های نزولی نیز می توان به سه روش:
۱-روش بیشترین شیب
۲-روش گرادیان مزدوج)روش فلچر ریویس)
۳-روش متریک متغیر
اشاره کرد. در ادامه هر یک از روش های فوق، به صورت مختصرتوضیح داده خواهد شد.
۳-۴-۱-۱-۱- روش یک متغیره^[۱۷]