فرض كنيم يك نقطه ی فرين  باشد و به طوري كه :
چون فرين  است شرط (2-1) نتيجه مي‌دهد كه :
هم چنین جابجايي است بنابراين :
پس :
لذا x، فرين است (توجه داريم كه به دليل جابجايي A برقراري شرط (2-1) برقراري شرط را نتيجه مي‌دهد چون :
به طوري كه اکنون نشان مي‌دهيم كه در حالت كلي هر نقطه ی-A فرين، فرين است.
فرض كنيم يك نقطه ی -Aفرين باشد لذا شرط (2-2) براي
نتيجه مي‌دهد كه . اکنون شرط (2-2) به شرط زیر تبدیل می شود :
كه اين شرط نتيجه مي‌دهد پسx، فرين است.■
اكنون چند مثال از نقاط فرين  را كه در  مطرح شده و در  و  اثبات آنها آورده شده را بيان مي‌كنيم.
مثال2-2-10: فرض كنيم مجموعه دايره يكه در باشد آن‌گاه نقاط فرين، دقيقاً همان طول پاها هستند.
طبق قضيه ی 1-1 از ]۸[، اگر طول پا يا هم طولپا باشد آن‌گاه x، فرين است. از طرفي طبق نتيجه 2-1 از  اگر x، فرين  باشد آن‌گاه x طولپا و هم طولپاست. اما طبق تعريف 2-1-9، x يكاني است و در فضاهاي متناهي‌البعد يكاني ها و طولپاها يكي هستند. چون طبق قضيه 4-5-1 از  هر دو فضاي هيلبرت داراي بعد يكسان، ايزومورفيك هستند پس اگر يك طولپا باشد چون لذا پوشا است و در نتيجه يكاني. بنابراين يك نقطه ی فرين  است اگر و فقط اگر طولپا باشد.■
قضیه 2-2-11: اگر ان گاه ، -محدب است و نقاط -فرین متعلق به مجموعه ی هستند .
اثبات: ]10[، قضیه 27 .
مثال 2-2-12: فرض كنيم  . نقاط فرين  مجموعه یS دقيقاً همان تصاوير متعامد (شامل  و 1) هستند.
اثبات:
فرض کنیم یک تصویر باشد و به طوری که :
.
اگر باشد (ان گاه :
و و . بنابر این روی . یک بحث مشابه نشان می دهد که روی . بنابر این . از ان جایی که هر معکوس پذیر است، زیر فضاهای بسته هستند به طوری که :
و
و
لذا برای هر ، به طوری که یک زیر فضای بسته است که روی ان و یک زیر فضای بسته است که روی ان و است. از ان جایی که هر نتیجه می شود که هر یک تصویر متعامد است و چون بعد ها در رابطه بالا برابر هستند پس ها با هم ارز یکاتی هستند.

برای اثبات عکس مطلب از قضیه 2-2-11 استفاده می کنیم. ادعا می کنیم اگر نقطه ی -فرین از مجموعه باشد ان گاه یک نقطه ی -فرین از است. فرض کنیم یک ترکیب محدب محض از باشد به طوری که یک ای وجود دارد که با هم ارز یکانی نیست. فرض کنیم ان گاه :
یک نمایش از به عنوان ترکیب محض از عناصر است. اما از ان جایی که با هم ارز یکانی نیست و پس با هم ارز یکانی نیست که با -فرین بودن در تناقض است. بنابر این یک نقطه ی -فرین از است.اما طبق قضیه 2-2-12 ، پس که و تصویر است.بنابر این یک تصویر است.
فصل چهارم
نقاط فرين C^* (C^* - فرين)
3-1: برد ماتريسي يك عملگر ازیک عامل:
در اين بخش قصد داريم ارتباط بين برد ماتريسي يك عامل و بستار ضعيف ستاره ی غلاف محدب  آن را بيان كنيم. در واقع منظور از بستار ضعيف ستاره غلاف محدب  يك نقطه- ی (R يك عامل است) بستار در توپولوژي ضعيف ستاره است. ابتدا چند قضيه را كه براي بررسي اين ارتباط لازم است مطرح مي‌كنيم.
قضيه 3-1-1 (قضيه تعدي كديسون(^[2]: فرض کنیم يك نمايش تحويل‌ناپذير از  - جبر A باشد و{} يك مجموعه مستقل خطي در و آن‌گاه عنصر موجود است به طوري كه . اگر عنصر خود الحاق موجود باشد به طوري كه ، را مي‌توان خود الحاق در نظر گرفت. اگر عملگر يكاني V روي H موجود باشد كه ، را مي‌توان يك عنصر يكاني ازبه شکل كه خود الحاق است، در نظر گرفت.
اثبات: [9] قضيه 1-2-10 .
توجه داشته باشيم كه در روند اثبات اين قضيه اين چنين نتيجه مي‌شود كه يكاني عضو به فرم موجود است كه خود الحاق است و . پس عنصر خود الحاق در موجود است كه و يك عملگر يكاني در است به طوري كه :
در واقع در قسمت آخر قضيه اگر عملگر يكاني V روي H موجود باشد كه ، آن‌گاه عملگر يكاني درA موجود است كه مي‌توان را به عنوان يك عملگر يكاني در نظر گرفت.
لم3-1-2: فرض كنيد A يك جبر  يكاني باشد و عناصر A وP يك حالت روي A باشد كه در بستار ضعيف ستاره ی حالت هاي محض است. آن‌گاه براي هر عنصر موجود است به طوري كه براي .
اثبات:] 9[، لم 2-2.
قضيه 3-1-3 : فرض كنيم R يك عامل باشد و يك زير عامل از آن (شامل يكه R) به طوري كه اي موجود است كه A با ايزومورفيك است.آن‌گاه :
جايي كه توسط يكي كردن A با (با بهره گرفتن از يك *- ايزومورفيسم)، به عنوان يك زير مجموعه از A در نظر گرفته مي‌شود. حتي براي نگاشت كاملاً مثبت يكاني و هر زير مجموعه -محدب فشرده ی ضعيف ستاره ی از ، .
اثبات:
فرض كنيم باید نشان دهيم نيز است. چون بنابراين نت موجود است به طوري كه . از طرفي نگاشت با تعریف يك نگاشت كاملاً مثبت يكاني براي هاي عضو R است كه . این مطلب از قضیه 1-4-6 نیز نتیجه می شود اما به طور مستقیم نیز می توان ان را نشان داد. فرض كنيم يك عنصر مثبت در باشد پس . از آن جايي كه هر عنصر عضو مثل به صورت یک ماتریس ، است لذا :
پس هر عنصر خودالحاق را به يك عنصر خودالحاق مي‌نگارد. چون يك *- همومورفسم است بنابراين طبق قضيه 8-1-4 از  ،
و چون مثبت است پس . بنابراين لذا، يك نگاشت مثبت است چون هر عنصر مثبت را به يك عنصر مثبت مي‌نگارد.
از طرفی نگاشت يك نگاشت يكاني براي است كه، چون :
پس مي‌توان نتيجه گرفت كه چون اگر آن‌گاه طبق تعريف ، انديس موجود است به طوري كه :
نگاشتي كاملاً مثبت و يكاني است. بنابراين موجود است به طوري كه :
اکنون براي آنكه باشد بايد موجود باشد به طوري كه براي نگاشت كاملاً مثبت و يكاني. اما طبق مطالب بالا تابع يك نگاشت كاملاًمثبت و يكاني پوشاست لذا :