(۴-۱)

که می­خواهیم کمینه شود. در قالب ریاضی مسأله به شکل زیر تعریف می­ شود:
که یک مسأله غیرخطی کمترین مربعات خطا و بدون قید است[۲۲]. بحث انطباق یک تابع بر روی مجموعه ­ای از از زوج داده ­های معلوم، (مسأله Curve fitting)، از جمله مسائلی است که با بکارگیری روش کمترین مربعات خطا حل می­ شود. فرض کنید ، مجموعه ­ای شامل m زوج باشد و بخواهیم تابع مدل ، شامل پارامتر X، این زوج داده ­ها را تقریب بزند. مسأله به این گونه تعریف می­ شود که:
بدنبال پارامترهای X هستیم بگونه­ای که ، کمینه شود، r که آن را باقیمانده هم می­نامند، از تفاضل مقدار واقعی ، و مقدار بدست آمده از تابع مدل ، در نقطه j ام بدست می ­آید. در اینجا متغیر مستقل است و بردار پارامترهای تابع مدل است.
روش گوس-نیوتن (GN)^[28] و الگوریتم لیونبرگر-مارکوارت (LM)^[29] دو روش رایج برای حل مسائل کمترین مربعات خطا هستند. در ادامه ابتدا چند مفهوم را تعریف و سپس الگوریتم­های فوق را بررسی خواهیم کرد[۲۴-۲۳].

گرادیان : گرادیان تابع چند متغیره f، یک بردار شامل مشتقات جزئی آن نسبت به متغیر مشخصی است که در تابع حضور دارد:
ماتریس هشین^[۳۰]: ماتریس هشین تابع f، یعنی H(f)، یک ماتریس مربعی از مشتقات مرتبه دوم f است.
ترانهاده^[۳۱] یک ماتریس: ماتریس را ترانهاده ماتریس گوییم که از انعکاس درایه­های ماتریس نسبت به قطر اصلی آن بدست می ­آید.
ماتریس مثبت معین^[۳۲]: ماتریس را مثبت معین گوییم هرگاه به ازای هر بردار غیرصفر و حقیقی ، باشد. به عبارت دیگر مثبت معین است هرگاه تمام زیرماتریس­های بالا-سمت چپی آن، شامل خود ، دارای دترمینان مثبت باشند[۲۳].
روش نیوتن: روش نیوتن یک الگوریتم برای یافتن ریشه ­های تابع است. این الگوریتم اساس روش GN را شکل می­دهد. روش نیوتن تقریب مرتبه اول تابع را در بسط تیلور برای یافتن مقدار تابع در نقطه بکار می­گیرد.
بسط تیلور تابع f حول نقطه
تقریب مرتبه اول تابع f در نقطه
تقریب مرتبه اول در واقع همان معادله خط مماس بر منحنی تابع در نقطه حدس اولیه یعنی است.
نقطه­ای که این خط با محور افقی برخورد می­ کند، به عنوان تقریب بعدی یعنی است و بصورت زیر بدست می ­آید:
روش نیوتن یک فرایند تکرارشونده^[۳۳] است. روش نیوتن را می­توان برای یافتن ریشه ­های یک تابع مشتق پذیر بکار برد مشروط به اینکه حدس اولیه به قدر کافی به ریشه­ مورد نظر نزدیک باشد و در نزدیکی این ریشه مشتقات تابع صفر و یا مقادیر خیلی کوچک نباشند. روش نیوتن اساس روش GN در مسأله کمترین مربعات خطا است.

کمترین مربعات خطا به روش گوس-نیوتن (GN)

بحث رسیدن به کمترین مربعات خطا روی یک سری از داده­ای معلوم را هم می­توان بصورت برخط (Online) و هم بصورت خارج خط (Offline) انجام داد. اگر مسأله شناسایی پارامتر در یک سیستم دینامیکی مطرح باشد، این الگوریتم بصورت برخط بکار می­رود.
گوس-نیوتن بصورت خارج خط (Offline GN): فرض کنید تعداد m زوج داده بصورت داریم و تابع مدل شامل پارامترهای برای تقریب این m زوج داده تعریف شده باشد. مطابق روش گوس-نیوتن الگوریتم زیر برای اصلاح پارامترهای و در جهت کمینه کردن مربعات خطا روی این m زوج داده بکار می­رود.
شکل ‏۴‑۱: روش گوس-نیوتن خارج خط(Off-line) برای مسأله کمترین مربعات خطا
در حالت خارج خط (Off-line) تمام m زوج داده بصورت یکجا درنظر گرفته می­شوند و بردار r شامل m مولفه، شکل می­گیرد. تعداد سطرهای ماتریس ژاکوبین ، هم m است و تعداد ستون­های آن n، که برابر تعداد عناصر بردار پارامترها ، می­باشد. کار با یک انتخاب اولیه برای ، (یعنی ) شروع می­ شود و پس از محاسبه تابع مدل ، برای همه m داده، بردار باقیمانده ، محاسبه می­ شود. سپس ماتریس ژاکوبین محاسبه و طبق رابطه گوس-نیوتن میزان تغییر در پارامترها بدست آمده و به آنها اعمال می­ شود. پارامترهای بروز رسانی شده برای مرحله بعد بکار می­روند. هر بار اجرای این الگوریتم یک اپک (Epoch) نامیده می­ شود.
گوس-نیوتن بصورت بر خط (Online GN): این روش برای پیاده سازی شناسایی، در سیستم­های دینامیکی کاربرد دارد. شکل زیر الگوریتم GN را برای حالت برخط (Online) نشان می­دهد.
شکل ‏۴‑۲: روش گوس-نیوتن خارج خط(On-line) برای مسأله کمترین مربعات خطا
در حالت برخط هم کار با یک حدس اولیه برای پارامترها شروع می­ شود. سپس برای داده اول، مقدار تابع مدل را ، محاسبه و متعاقبا باقیمانده مربوط به این داده بدست می ­آید. ماتریس ژاکوبین در این حالت شامل یک سطر می­باشد که فقط برای داده j=1 محاسبه شده است. رابطه اصلاح پارامترها مانند قبل است و پس از محاسبه و اصلاح پارامترها، تابع مدل برای داده بعدی محاسبه شده و همانند اولین داده کار محاسبات و اصلاح پارامترها ادامه می­یابد. به هر بار اجرای این الگوریتم یک Iteration گویند. با رسیدن به آخرین داده، الگوریتم، ورود داده ­ها را از سر گرفته و مجددا بر روی داده ­ها اجرا می­ شود. این کار تا زمانی ادامه می­یابد که معیار توقف الگوریتم برآورده شود. این معیار معمولا رسیدن به مقدار مشخصی از خطا است. در زیر یکی از معیارهای رایج آورده شده است.
که در آن یک مقدار مثبت کوچک و معلوم است. در سیستم­های دینامیکی m، به زمان توقف کار سیستم بستگی دارد و تا زمانیکه سیستم درحال کار است، نمونه برداری از سیگنال­های داده­، روند اصلاح پارامترها و کمینه شدن مربعات خطا ادامه می­یابد. همانطور که بررسی شد، تفاوت روش­های برخط و خارج خط در این بود که در حالت برخط، نمونه­ها در هر Iteration تک به تک ارزیابی و در اصلاح پرامترها شرکت می­ کنند، حال آنکه در حالت خارج خط تمام زوج داده ­ها در هر Epoch بصورت یکجا ارزیابی و در تصحیح پارامترها بکار می­روند.

کمترین مربعات خطا به روش لیونبرگر-مارکوارت (LM)

تفاوت روش LM و GN چه در حالت برخط و چه خارج خط، تنها در محاسبه است. در روش GN برای بدست آوردن میزان تغییر پارامترها (یعنی )، نیاز به محاسبه معکوس ماتریس است. در مواقعی این ماتریس نزدیک به حالت ویژه بوده و محاسبه معکوس آن دشوار می­باشد. بعلاوه این حالت ویژه بودن می ­تواند باعث واگرایی محاسبات شود. برای گریز از معکوس ناپذیری ماتریس ، مطابق روش LM یک ماتریس همانی با ضریب به آن اضافه می­ شود. به این ترتیب علاوه بر حل مسأله معکوس ناپذیری، می­توان بر سرعت اصلاح و همگرایی پارامترها نیز کنترل داشت. هرچه بزرگتر انتخاب شود سرعت تغییرات در پارامترها کمتر خواهد بود و با نزدیک شدن به صفر، الگوریتم LM مانند GN عمل می­ کند.

روش GN

روش LM

کنترل MPPT با بکارگیری سرعت دورانی بهینه

مقدمه

در این فصل پس از مروری بر پیکره بندی سیستم مبدل انرژی باد و همچنین مدل ریاضی توربین بادی و ژنراتور مغناطیس دائم، سیستم کنترل برای ردگیری توان بیشینه معرفی خواهد شد. همچنین با بکارگیری شناسایی پارامتر به روشLM که در فصل ۳ بررسی شد، سیستم کنترل برای ردگیری سرعت دورانی بهینه ژنراتور مرتبط با توان بیشینه، پیکره بندی می­ شود.

پیکره بندی سیستم مبدل

دیاگرام مربوط به سیستم ژنراتور و توربین بادی بدون جعبه دنده در شکل زیر نشان داده شده است.
شکل ‏۵‑۱: سیستم تبدیل انرژی بادی با PMSG