از رابطه (۲-۳۸) و (۲-۳۹) خواهیم داشت:
۲-۴۰
و همچنین از رابطه (۲-۴۰) و (۲-۳۷):
۲-۴۱
از رابطه (۲-۴۱) می­توان نتیجه گرفت که فشار محرک رابطه مستقیم و خطی با وزن دارد.
فصل سوم:
تئوری
آرچینگ
ترزاقی
۳-۱- مقدمه
اگر یک قسمت از توده خاک تسلیم شود، درحالی‌که باقیمانده در جای خود بماند، خاک مجاور بخش تسلیم‌شده از جایگاه اصلی خود بین توده مجاور ثابت خاک حرکت می­ کند. حرکت­های مرتبط با خاک متقابل است با مقاومت برشی در ناحیه­ی تماس بین توده تسلیم‌شده و ایستا. از این رو مقاومت برشی تمایل به نگاه‌داشتن توده تسلیم‌شده در موقعیت خود دارد، این فشار را در قسمت تسلیم‌شده ساپورت کاهش و در قسمت­ های مجاور افزایش می­یابد. این انتقال تنش از ناحیه­ی تسلیم‌شده خاک به ناحیه­ی مجاور اثر آرچینگ نام دارد و گفته می­ شود که خاک در ناحیه­ی تسلیم قوس­زده شده است. آرچینگ اغلب زمانی که دریچه نسبت به سایر ناحیه­ها مجاور حرکت می­ کند، اتفاق می­افتد.
آرچینگ یکی از جهانی­ترین پدیده ­های پیش رو چه در آزمایشگاه و چه در کارهای میدانی در خاک می­باشد. ازآنجایی‌که آرچینگ فقط توسط تنش برشی برقرار است و پایداریش کمتر از سایر ناحیه­های تنش در خاک که به موجودیت تنش­های برشی بستگی دارد، نیست، همانند ناحیه­ی تنش در زیر پای ستون. به‌عنوان‌مثال، اگر هیچ تنش­های برشی ثابتی در ماسه ممکن نباشد، پایه ستون‌ها به‌طور نامحدود نشست خواهد کرد. به‌عبارت‌دیگر، هر تأثیر خارجی که سبب نشست اضافی پای­ستون و یا حرکت بیرونی اضافی یک دیوار حائل تحت نیروهای استاتیکی تغییرناپذیر می­ شود، باید اغلب انتظار به کاهش شدت اثرات آرچینگ موجود داشت. ارتعاشات مهم‌ترین تأثیر را در این زمینه دارند.
در این فصل دو نوع حالت بررسی خواهد شد، یکی آرچینگ در ماسه­ی ایده­آل به دلیل جابجایی دریچه افقی و دیگری آرچینگ در ماسه­ی مجاور دریچه عمودی که در راستای بیرونی تسلیم‌شده است.
۳-۲- حالت تنش در منطقه آرچینگ
تسلیم موضعی ساپورت افقی بستر ماسه­ای نشان داده شده در شکل (۲-۱-a)، می ­تواند با کاهش تدریجی یک بخش مقطع نواری شکل ab تکیه‌گاه، ایجاد شود. قبل از این‌که نوار شروع به گسیختگی نماید، فشار عمودی بر واحد سطح در ساپورت افقی در همه‌جا برابر با عمق لایه ماسه­ای مقارن بر وزن مخصوص آن است. با این حال، کاهش نوار منجر به جاری‌شده ماسه قرار گرفته در بالای نوار (باریکه، لایه) می­ شود. مقاومت اصطکاکی در سرتاسر محدوده تماس میان توده متحرک و ساکن ماسه، با این جابجایی مخالفت می­ کند. درنتیجه، فشار کل وارد بر نوار در حال تسلیم به مقدار مؤلفه عمودی مقاومت برشی که بر مرز­ها وارد می­ شود، کاهش می­یابد و فشار کل وارد بر قسمت­ های ساکن مجاور ساپورت به همان مقدار، افزایش می­یابد. در تمام نقاطی که بلافاصله بالای نوار در حال تسلیم قرار گرفته‌اند، تنش اصلی قائم به کسر کوچک چیزی که قبل از تسلیم شروع شده بود، کاهش می­یابد. فشار کل قائم وارد بر اساس لایه ماسه­ای عوض نمی­ شود، زیرا همیشه برابر با وزن ماسه است؛ بنابراین کاهش فشار قائم وارد بر نوار در حال تسلیم باید با افزایش فشار قائم وارد بر قسمت­ های مجاور اساس صلب همراه باشد که شامل افزایش ناگهانی شدت فشار قائم در طول لبه­های نوار است. این ناپیوستگی به وجود ناحیه a برش شعاعی قابل مقایسه با چیزی که در شکل (۲-۱-a) مشهود است، نیاز دارد. برش شعاعی با یک انبساط جانبی ماسه قرار گرفته در داخل ناحیه با فشار بالا، در هر دو طرف نوار در حال تسلیم، به‌سوی ناحیه با فشار پایین قرار گرفته در بالای نوار، همراه است. اگر اساس لایه ماسه­ای، کاملاً هموار باشد، الگوی برشی مطابق آن باید مشابه شکل (۲-۱-a) و در مقیاس بزرگ‌تر مشابه شکل (۲-۱-b) باشد.

همین‌که نوار به‌قدر کافی در راستای پایین تسلیم شد، گسیختگی برشی در طول دو سطح لغزش که از سطوح بیرونی نوار به سطح ماسه رسیده است، اتفاق می­افتد. در مجاورت سطح، تمامی دانه­ های ماسه به‌طور عمودی به سمت پایین حرکت می­ کنند؛ که این مکرراً توسط عکس­های پرتودهی زمانی اثبات‌شده است. از این قبیل حرکات فقط اگر سطح لغزش از وسط نصف شود، سطح افقی ماسه در زوایای راست ممکن است. زمانی که گسیختگی اتفاق می­افتد، تورفتگی در سطح ماسه که در شکل (۲-۱-a) نشان داده شده است، ظاهر می­ شود. شیب هر طرف تورفتگی زمانی که سطح شیب را تقسیم می­کنیم، بزرگ‌ترین است. فاصله بین این قطعات شیب­دار می ­تواند اندازه ­گیری شود. می ­تواند دریافت که این اکثراً بزرگ‌تر از عرض نوار تسلیم‌شده است. از این رو سطح لغزش ac و bd هنوز محاسبه نشده است. به هرحال، آزمایشات پیشنهاد داده­اند که زاویه­ی میانگین شیب این سطوح اغلب از ۹۰ درجه برای مقدار پایین  کمتر است که نزدیک به  برای هر ارتفاعی از مقدار  می­ شود.
فشار عمودی بر قسمت پایین‌تر توده ماسه که بین دو سطح لغزش، ac و bd که در شکل (۲-۱-a) نشان داده شده است، برابر است با وزن قسمت بالای کاهش‌یافته توسط مؤلفه‌های عمودی مقاومت اصطکاکی که به سطوح جانبی، لغزش می­ کند.
استدلال قبلی همچنین می ­تواند به تحلیل تأثیر آرچینگ تولیدشده در یک توده ماسه به‌وسیله تسلیم جانبی قسمت پایینی ساپورت قائم، اعمال شود. در شکل (۲-۱-c) ساپورت جانبی توسط ab نمایش داده شده است. سطح ماسه افقی است و ساپورت با واژگونی حول لبه بالایی، تسلیم می­ شود. بعد از تسلیم ساپورت به‌اندازه کافی، گسیختگی برشی در ماسه در طول سطح لغزش bd که از پای b ساپورت تا سطح ماسه گسترش می­یابد، رخ می­دهد. موقعیت ساکن لبه بالایی (a) ساپورت جانبی از انبساط جانبی قسمت بالایی گوه لغزشی، جلوگیری می­ کند؛ بنابراین دانه­ های ماسه قرار گرفته در قسمت بالایی گوه، تنها می ­تواند در یک امتداد رو به پایین، حرکت کند. ازاین‌رو سطح لغزشی با سطح افقی ماسه در d تقاطع می­یابد. نشست مطابق سطح گوه در حال لغزش در شکل توسط خط نقطه‌چین نشان داده شده است.
انبساط جانبی قسمت پایینی گوه در حال لغزش با یک کوتاه شدگی در راستای قائم همراه است. نشست مطابق قسمت بالایی گوه، توسط مقاومت اصطکاکی در طول قسمت تند مجاور سطح در حال لغزش، مواجه می­ شود. درنتیجه فشار قائم وارد بر قسمت پایینی گوه، کمتر از وزن ماسه قرار گرفته در بالای آن است. این پدیده تأثیر قوسی شدن در ماسه بعد از تسلیم شدن ساپورت­های جانبی که قسمت بالایی آن‌ ها ثابت و ساکن است، شکل می­دهد.
۳-۳- تئوری آرچینگ
بیشتر تئوری­های موجود در زمینه آرچینگ با فشار ماسه خشک روی تسلیم نوارهای افقی سروکار دارند. آن‌ ها به سه گروه تقسیم می‌شوند. در تئوری گروه سوم فرض بر این است که مقاطع قائم ae و bf از بالا تا پایین لبه­های بیرونی نوار تسلیم سطح رانش را نشان می­دهد و اینکه فشار روی نوار تسلیم برابر است با تفاضل وزن ماسه روی نوار و مقاومت اصطکاکی در طول مقاطع قائم.
شکل ۳-۱: گسیختگی در ماسه چسبنده قبل از آرچینگ (a)، گسیختگی به دلیل حرکت رو به پایین مقطعی نازک و دراز از لایه­ای از ماسه (b)، توسعه دادن جزئیات دیاگرام (a); ©، گسیختگی برشی در ماسه به دلیل تسلیم ساپورت جانبی با دوران حول بالا
سطوح واقعی رانش (ac&bd) منحنی شکل هستند و در سطح ماسه جایگیری آن‌ ها به‌طور قابل‌توجهی بیشتر از پهنای نوار تسلیم است؛ بنابراین اصطکاک در طول مقاطع عمودی ae و bf نمی­تواند کاملاً اکتیو باشد. خطایی که به دلیل نادیده گرفتن این امر به وجود می ­آید خطرساز است. همه تئوری­های اشاره‌شده در این زمینه به این نکته اشاره می­ کنند که فشار روی نوار افقی تسلیم، با یک‌میزان پهنای مشخص با سرعت کمتری نسبت به وزن توده ماسه قرار گرفته روی این نوار افزایش می­یابند و با سرعت کمتری به خط مجانب بینهایت می­رسند. ولی مقادیر مشخص شده در تئوری­های مختلف برای فشار روی این نوار کاملاً متفاوت هستند. برای مشخص کردن اینکه کدام یک از این تئوری­ها باید مورد استفاده قرار گیرند لازم است وضعیت فشار روی نوارهای تسلیم به‌صورت تجربی مورد بررسی قرار گیرند و نتایج آن‌ ها با فرضیات اولیه این تئوری­ها مورد مقایسه قرار گیرند. تاکنون هیچ ارزیابی کاملی از این نوع صورت نگرفته است و ارزش نسبی چندین تئوری هنوز ناشناخته است. ساده‌ترین تئوری­ها آن­هایی هستند که در دسته‌بندی سوم قرار دارند و بر این فرض استوارند که سطوح رانش عمودی هستند. خوشبختانه خطاهای مربوط به این فرض کاملاً قابل مشاهده می­باشد. باوجود این خطاها نتایج پایانی با داده‌های تجربی موجود تا حد زیادی همخوانی دارند؛ بنابراین تحلیل­های بعدی تنها بر اساس فرضیات پایه­ای این تئوری­ها در این دسته­بندی خواهند بود. اگر فرض کنیم که سطوح رانش همان‌گونه که در شکل بالا با خطوط ae و bf نشان داده شده است به‌صورت قائم باشد محاسبه فشار عمودی در نوار تسلیم با مشکل مواجه می­ شود. در شکل زیر یک مقطع بین دو سطح عمودی لغزش نشان داده شده است. مقاومت برشی زمین با این رابطه مشخص می­ شود:
(۳-۱)
شکل ۳-۲: دیاگرام فرض شده برای محاسبه فشار ماسه بین دو سطح عمود لغزش
وزن واحد خاک  و سطح خاک سربار q در واحد عرض را تحمل می­ کند. فرض بر این است که نسبت بین فشار افقی و عمودی برابر با ثابت تجربی K در هر نقطه است. فشار عمودی روی مقطع افقی در هر عمق z پایین‌تر از سطح برابر  است و فشار نرمال مربوط به آن بر سطح عمودی رانش برابر است با:
(۳-۲)
وزن این برش از خاک با ضخامت  در عمق  پایین‌تر از سطح برابر با  . این برش تحت تأثیر فشارهایی که در شکل (۲-۲) نشان داده شده قرار می­گیرد. شرایطی را که مجموع نوارهای عمودی که بر روی این برش تأثیر می­گذارند باید برابر با صفر باشد، می­توان با این رابطه نشان داد:
(۳-۳)
(۳-۴)
(۳-۵)
با حل این معادلات درمی­یابیم:
(۳-۶)
با جایگزین کردن مقدار صفر به ترتیب برای c و q به دست می ­آید:
(۳-۷)
(۳-۸)
(۳-۹)
اگر مقاومت برشی در بستر ماسه­ای بر مقطع عمودی ae و bf کاملاً اکتیو باشد فشار عمودی  به ازای هر واحد سطح نوار تسلیم ab با رابطه بالا مشخص می­ شود. اگر  را در این رابطه جایگذاری کنیم به دست می ­آید:
(۳-۱۰)
که در آن:
(۳-۱۱)
برای خاکی با K=1 و φ=۴۰ و φ=۳۰ نمودار توزیع فشار به‌صورت زیر است:
شکل ۳-۳: نمایشی از نتایج محاسبات
چنانچه در شکل (۲-۳) نمایان است توزیع تنش به‌صورت سهمی بوده و بعد از عمق معینی به ثبات می­رسد.
بررسی­های تجربی در خصوص حالت تنش در ماسه قرار گرفته در بالای یک نوار در حال تسلیم (ترزاقی، ۱۹۳۶e) نشان داده است که مقدار K از مقدار تقریباً ۱ بلافاصله بالای خط مرکزی نوار در حال تسلیم به یک مقدار ماکزیمم (حداکثری) در حدود ۱٫۵ در ارتفاع تقریبی ۲B بالای خط مرکزی می­رسد. به نظر می­رسد در ارتفاع­های بیشتر از حدود ۵B بالای خط مرکزی، کاهش نوار اصلاً تأثیری در حالت تنش ماسه نداشته باشد. ازاین‌رو ما مجبور شدیم که فرض کنیم مقاومت برشی ماسه، تنها در قسمت پایینی مرزهای قائم ae و bf منشور ماسه قرار گرفته در بالای نوار در حال تسلیم ab در شکل (۲-۱-a)، فعال (محرک) است. بر اساس این فرض قسمت بالایی منشور، مانند یک اضافه بار q بر قسمت پایینی وارد می­ شود و فشار وارد بر نوار در حال تسلیم توسط معادله (۳-۸)، تعیین می­ شود. اگر  برابر با عمقی باشد که تنش­های برشی بر مرزهای قائم منشور abfe در شکل (۲-۱-a) وارد نشود، فشار قائم بر واحد سطح مقطع افقی  در سرتاسر منشور در عمق  زیر سطح برابر است با  . با وارد کردن این مقدار و مقدار  در معادله (۳-۸)، داریم:
(۳-۱۱)
که در آن:
(۳-۱۲)
برای  ، مقدار  برابر می­ شود با: